クーロンの法則と電場

前回書いたクーロンの法則の式

　　


において、Fは力の大きさを表していましたが、力の働く方向は表現しきれていません。

力の大きさと方向を一つの式で表現するには、力の方向を表す大きさが1のベクトルと、力の大きさを表すFとを掛け合わせます。


ベクトルについては、別の機会に詳しく書いていこうと思いますが、ここでは「大きさと方向をあわせ持つ量」という程度の感覚で捉えられれば十分です。
イメージがわかなければ、「矢印みたいなもの」という感覚でも大丈夫です。　矢の向きが方向を示し、長さが大きさに相当します。

上の式で、 Fの働く方向はq1とq2を結ぶ直線と同じ方向です。
q₁からq₂に向かって引いた矢印（ベクトル）をRと名づけると、これをq₁からq₂までの距離|r|で割れば、方向がFの働く方向と同じで、大きさが1のベクトルとなります。

　　


ここで、いったんq₂がない場合を考えましょう。
q₁の周りには電荷を持ってくると力が発生する空間ができているのと同等に考えることができます。
上の式とあわせて考えると、この空間内に持ってきた電荷qに対して、


　　


という力が働く空間、すなわち場が存在するように見えます。
このEで表される場が電場であり、電圧の源です。

クーロンの法則

手軽に数式を記録したかったのは、突き詰めるとクーロンの法則について書きとめておきたかったからです。


クーロンの法則は


「2つの電荷q₁とq₂の間には、それぞれの電荷量に比例し、電荷間の距離ｒの２乗に反比例する大きさの力が働く。」


という観測事実に基づくもので、式で書くと、


　


となります。　Fは力の大きさで、kは単位変換など数値のつじつまを合わせるための係数です。
式を見ると明らかなように、Fはq₁やq₂に比例し、rの2乗に反比例する形になっていて、観測事実をそのまま式にしているのがわかります。


式の上では明確ではありませんが、q₁・q₂が正の時、つまり両方ともプラスの電荷を持つ場合や両方ともマイナスの電荷を持つ場合は反発力(斥力)が働き、片方がプラスで片方がマイナスの場合は引力が働くことが観察されます。


この式の変形について、次回以降書きとめていこうと思います。

数式を書きたい

数式を綺麗にお手軽にweb上へ記録する方法をないかなぁ、と思っていたら、Blogger限定ですがありました。
クリボウさんのブログに詳しく解説されていますが、ようは

1. Greasemonkeyが機能するブラウザ
2. LaTeX for Blogger w/ Undoがインストールされていること

の条件を満たせば、BloggerのエディタでLaTeX数式をお手軽に入力できます。

Greasemonkeyは、Firefoxには拡張機能としてインストールすればよく、新しめのChromeやChromePlusではネイティブでサポートされています。


LaTeX for Blogger w/ Undoは簡単にインストールできますが、過去バージョンではうまく動作しない場合もあるので注意が必要です。

あとは、Bloggerの投稿作成画面でLaTeX数式を$$ではさんでやれば、綺麗な数式をブログに挿入できます。


　　

とか

　　


みたいな数式が簡単に表現できてしまいます。　やったー！

ブラウザ上で実現している機能なので、OSの種類は関係ない（はず）です。

実際、この文章はUbuntu+ChromePlusを使用して書いていますが、Ubuntu+VMware Playerで作った仮想PC上のWindows XP＋Firefoxでも同様に編集できています。

複数のPCで同期を意識することなく数式を記録できるのというのは快適ですね。